幼い頃全国童謡コンクールにて審査員特別賞を受賞したのをきっかけに、12歳で初めてミュージカルに主演。以後、変声期を迎えるまで舞台・テレビなどに出演した。高校は東邦音楽大学附属東邦高等学校声楽科に入学。米への語学留学を経ての04年、大手レコード会社の2万人が応募したオーディションで最終選考の10人に勝ち残った。
大学は東京音楽大学声楽演奏家コースに入学するも、2年で中退。その翌年の07年、日本上演20周年を迎えた「レ・ミゼラブル」でマリウス役として正式デビューを果たした。
「出演する公演のチケットは軒並み“プラチナチケット”に。そして、山崎はいつしか『ミュージカル界のプリンス』と呼ばれるようになり、将来の日本のミュージカル界を背負って立つ存在になるはずだったのだが…」(演劇関係者)
昨年4月、長年所属していた事務所から、一部のインタビューで「刺激を受けた俳優」としていた唐沢寿明の所属する研音に移籍。移籍後は積極的に映像作品に出演する戦略のようで、今年夏に放送された、その唐沢主演の刑事ドラマ「THE LAST COP/ラストコップ」に出演。「下町ロケット」の次には、来年1月20日スタートのムロツヨシ主演のTBS系深夜ドラマ「悪党たちは千里を走る」への出演が決定している。
プライベートでは、今年正月、元モーニング娘。の安倍なつみとの真剣交際が報じられていたが、「先の先までスケジュールがいっぱい。結婚はまだまだだと思われる」(芸能記者)。今は恋より仕事のようだ。