『銀河鉄道999』や『魔法の天使クリィミーマミ』などを見て声優を志す。東京アニメーション養成所を経て、1986年『めぞん一刻』よう子役でデビューを果たす。翌年1987年『機甲戦記ドラグナー』ローズ・パテントン役で、初レギュラーに抜擢される。その後も順調にキャリアを積み、1992年『みかん絵日記』草凪吐夢役、1993年『SLAM DUNK』赤木晴子役、『ポコニャン!』木の葉ミキ役など、準主役や、ヒロインを演じる様になる。1994年OVA『逮捕しちゃうぞ』では、主人公の一人である小早川美幸役を演じており、同作は3度に渡りTVアニメ化や劇場版が制作されるなど大ヒットし、平松の代表作の一つとされている。
演じる役は主に女性役が多いが、1993年『美少女戦士セーラームーンR』霊媒のカラベラス役、1995年『NINKU -忍空-』メキラ大佐役、1997年『キューティーハニーF』葉月聖羅役など、主人公と敵対する悪女や、1996年『セイバーマリオネットJ』ブラッドベリー役、『烈火の炎』霧沢風子役、1999年『地球防衛企業ダイ・ガード』桃井いぶき役などの勝気で男勝りな役、2002年『藍より青し』神楽崎雅役、『あずまんが大王』谷崎ゆかり役、2005年『BLEACH』志波空鶴役など、主人公を見守る大人の女性、2009年ゲーム『テイルズ オブ ザ ワールド レディアント マイソロジー2』では、一風変わった天才科学者であるハロルド・ベルセリオスを演じるなど、非常に役の幅が広い。1999年『劇場版ポケットモンスター 幻のポケモン ルギア爆誕』では、ゲストヒロインのフルーラ役を演じた。
近年では、2004年『ケロロ軍曹』日向秋役、2006年『NANA』小松奈津子役、2011年『THE IDOLM@STER』如月千種役など、主人公の母親役を演じる機会が増えており、さらなる演技の幅を広げている。