同志社女子中学校・高等学校、同志社大学工学部工業化学工学科卒という高学歴であり、卒業後もオムロンソフトウェア(株)に勤務してATMの開発などをしていたという異例の経歴を持つ。だが就職した後も役者の夢が捨てきれず、声優業界で最大手の事務所・青二プロダクションの養成所・青二塾大阪校に通い始める。そして養成所を卒業後、数名しか選抜されない厳しい審査の中、遂に青二プロダクションのジュニア所属となり会社を退職して上京した。しかし上京後は鳴かず飛ばずの時期が続き、アルバイトで生計をたてていたが、ジュニア所属の査定ギリギリでTVアニメ『緊急発進セイバーキッズ』の天神林ランを見事射止め、1991年に声優デビューする。
デビュー後もその実力を発揮し、TVアニメ『スーパービックリマン』月光聖アマゾ・アムル役、TVアニメ『GS美神』マリア、TVアニメ『ママレード・ボーイ』秋月茗子役など、年にだいたいレギュラーを一つ獲得するほどになる。そして、『NANA』などでも有名な漫画家・矢沢あい原作のTVアニメ『ご近所物語』太田麻衣役では、「同じ声優さんなのに『ママレード・ボーイ』の秋月茗子役と全然違う! 声優さんってすごい!」と矢沢を絶賛させたという逸話がある。そしてその翌年の1996年には、今や国民的アニメに成長し、山崎の知名度を一気にあげることとなるTVアニメ『名探偵コナン』毛利蘭役に抜擢される。
また山崎は、TVアニメ以外にも「爆笑問題の検索ちゃん」、「世界陸上」などのナレーションでも活躍している。レギュラーでは、2001年より毎週日曜朝の「サンデージャポン」、2012年からは「有吉ジャポン」などがあり、その明るく安定した読みには定評があるのだ。